La Loi binomiale concerne le nombre de succès dans n épreuves de Bernoulli indépendantes donnant chacune un résultat binaire, comme dans le jeu de Pile ou face. La loi multinomiale est une généralisation de celle-ci, applicable par exemple à n jets d'un Dé à six faces. Contrairement à ces exemples simples, les différentes possibilités ne sont généralement pas équiprobables.

Autre présentation de la loi binomiale

La fonction de probabilité de la Variable aléatoire binomiale X qui s'écrit

P(X = x) =

n! –––––––––––– x! (n-x)!

p x (1-p) n-x

peut se réécrire de manière symétrique en faisant intervenir deux variables dont la somme est égale à n :

N ₁ = X N ₂ = n-X p ₁ = p p ₂ = 1-p

P(N 1 = n 1 ,N 2 = n 2 ) =

n! –––––––––––– n 1 ! n 2 !

p 1 n 1 p 2 n 2

Généralisation

Dans le cas multinomial à m résultats possibles au lieu de 2, les variables deviennent N _i , i = {1, …,m } et correspondent aux probabilités p _i , i = {1, …,m } avec les contraintes

m Σ i = 1

N i = n

m Σ i = 1

p i = 1

La fonction de probabilité s'écrit alors, sous la condition portant sur la somme des variables :

P(N 1 = n 1 , … N m = n m ) =

n! ––––––––––––––– n 1 ! … n m !

p 1 n 1 … p m n m

Chacune des variables reste une variable binomiale dont la moyenne et la variance sont

E = n p _i var = n p _i (1-p _i )

tandis que les covariances s'écrivent

cov = -n p _i p _j

Approximation

Lorsque la variable aléatoire N _i devient assez grande, le théorème de la limite centrale montre qu'elle est raisonnablement approchée par une variable normale à laquelle correspond la variable centrée réduite

N i - n p i ––––––––––––––––––– √(np i (1-p i ))

.

Si ces variables étaient indépendantes,

m Σ i = 1

(N i - n p i ) 2 –––––––––––––––––– np i (1-p i )

suivrait une loi du χ ² à m degrés de liberté.

Du fait de la contrainte linéaire qui s'applique, la variable

m Σ i = 1

(N i - n p i ) 2 –––––––––––––––––– n p i

suit une loi du χ ² à (m-1) degrés de liberté.

Cette dernière remarque est à la base du test du χ².